Intégrale de \( \csc^3(x) \)

Dérivation et évaluation

Évaluez l'intégrale :

\[ \int \csc^3(x) \, dx \]

Écrivons l'intégrande \( \csc^3(x) \) sous la forme du produit \( \csc x \csc^2 x \) :

\[ \int \csc^3(x) \, dx = \int \csc x \csc^2 x \, dx \]

Utilisez l'intégration par parties donnée par : \( \int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx \).

Posons \( u' = \csc^2 x \) et \( v = \csc x \), ce qui donne \( u = -\cot x \) et \( v' = -\csc x \cot x \).

En substituant dans la formule d'intégration par parties, on obtient :

\[ \int \csc^3(x) \, dx = (-\cot x)(\csc x) - \int (-\cot x)(-\csc x \cot x) \, dx \]

Simplifions l'expression :

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \cot^2 x \csc x \, dx \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \cot^2 x = \csc^2 x - 1 \) pour réécrire l'intégrale :

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int (\csc^2 x - 1) \csc x \, dx \]

Développons l'intégrande :

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \csc^3 x \, dx + \int \csc x \, dx \]

Utilisez l'intégrale standard \( \displaystyle \int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| \) et substituez-la dans l'expression :

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \csc^3 x \, dx + \ln|\csc x - \cot x| \]

Ajoutons \( \displaystyle \int \csc^3 x \, dx \) aux deux côtés et simplifions :

\[ 2 \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x + \ln|\csc x - \cot x| \]

En multipliant tous les termes par \( \dfrac{1}{2} \) et en ajoutant la constante d'intégration \( c \), nous obtenons la réponse finale :